TD1 Phystat Corrige

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  Pr´eparation `a l’Agr´egation de Sciences Physiques Fran¸cois LevrierENSP - Montrouge Physique Statistique - Corrig´e du TD 1 Ensemble microcanonique 11 octobre 2005 I - Syst`eme `a deux niveaux 1.  L’´energie de l’ensemble du syst`eme est ´egale `a la somme des ´energies individuelles dechacune des particules le constituant, de sorte qu’on a imm´ediatement E   =   0 ( n 2 − n 1 ) =  M 0  . 2.  L’´energie macroscopique  E   est d´etermin´ee par la diff´erence  M   =  n 2 − n 1 . Or la somme n 1 + n 2  =  N   est fix´ee par hypoth`ese, donc tous les ´etats microscopiques contenant un mˆemenombre de particules dans l’´etat d’´energie −  0  donnent la mˆeme ´energie macroscopique  E  .Il s’agit donc de calculer le nombre de choix possibles pour les  n 1  particules d’´energie −  0 ,parmi  N  . Il est bien connu que celui-ci est donn´e par C  n 1 N   =  N  ! n 1 !( N   − n 1 )! =  N  ! n 1 ! n 2 !En exprimant  n 1  et  n 2  en fonction de l’´energie macroscopique  E  , du nombre total de par-ticules  N   et de l’´energie microscopique   0 , soit n 1 − n 2  = − E  0 et  n 1  + n 2  =  N   = ⇒  n 1  = 12  N  −  E  0   et  n 2  = 12  N   +  E  0  , on obtient le nombre d’´etats microscopiques donnant la mˆeme ´energie macroscopique  E  ,Ω( E,N  ) =  N  !  N  2  −  E  2  0  !  N  2 +  E  2  0  ! . 3.  L’entropie microcanonique du syst`eme est donn´ee par la formule de Boltzmann S   =  k B  lnΩ( E,N  ) o`u  k B  est la constante de Boltzmann . En particulier, lorsque | M  | =  N  , toutes les particules ont la mˆeme ´energie, ´egale soit `a −  0 ,soit `a   0 . Par cons´equent, l’´energie macroscopique prend l’une des deux valeurs extrˆemes E   = ± N 0 , et, en introduisant cette forme dans l’expression pr´ec´edente du nombre d’´etatsmicroscopiques, on trouve Ω( E,N  ) = 1, ce qui est bien coh´erent. L’entropie est alors nulle,  ce qui traduit le fait que l’on dispose de toute l’information disponible sur le syst`eme. Celui-ci est enti`erement d´etermin´e microscopiquement.On suppose maintenant que  n 1   1 et  n 2   1. Le nombre total de particules est alors luiaussi tr`es grand devant un. Par cons´equent, l’entropie du syst`eme peut s’´ecrire, en utilisantl’approximation de Stirling, S   =  k B  lnΩ( E,N  ) =  k B  [ln( N  !) − ln( n 1 !) − ln( n 2 !)] ≈ k B  ( N   ln N   − n 1  ln n 1 − n 2  ln n 2 ) . Avec les expressions de  n 1  et  n 2  obtenues plus haut, et en posant  x  =  E/ ( N 0 ), on a S   ≈ k B  N   ln N  −  N  2 (1 − x )ln  N  2 (1 − x )  −  N  2 (1 + x )ln  N  2 (1 + x )  , qu’on peut r´e´ecrire sous la forme S   ≈− Nk B  1 − x 2 ln  1 − x 2  + 1 + x 2 ln  1 + x 2  . En r´eintroduisant les variables  E   et  N  , cela donne S   ≈− Nk B 2  1 −  E N 0  ln  12  −  E  2 N 0  +  1 +  E N 0  ln  12 +  E  2 N 0   . 4.  La temp´erature microcanonique  T   est d´efinie comme l’inverse de la d´eriv´ee partielle del’entropie par rapport `a l’´energie interne, soit1 T   =  ∂S ∂E   =  ∂S ∂x∂x∂E   = 1 N 0 ∂S ∂x. Or [ f  ( x )ln f  ( x )]  =  f   ( x )[ln f  ( x ) + 1] donc on obtient finalement1 T   =  ∂S ∂E   =  k B 2  0 ln  1 − x 1 + x   en rappelant que  x  =  E N 0 . Si par un moyen exp´erimental on arrive `a pr´eparer le syst`eme dans un ´etat d’´energie macro-scopique  E   positive, alors  x >  0 et la temp´erature microcanonique calcul´ee par la formulepr´ec´edente est n´egative. Physiquement, cela correspond `a l’inversion de population entre lesdeux niveaux, le niveau d’´energie plus ´elev´e ´etant le plus peupl´e. Cette situation ne sauraitd´ecrire un v´eritable syst`eme physique `a l’´equilibre. 5.  La capacit´e calorifique est d´efinie par les relations C   =  ∂E ∂T   =  T  ∂S ∂T   et on la calcule par  ∂ ∂E   1 T    = −  1 T  2 C   et  ∂ ∂E   = 1 N 0 ∂ ∂x, d’o`u l’on tire sans aucune difficult´e de calcul, −  1 T  2 C   = 1 N 0 ∂ ∂x  1 T    = −  k B 2 N 20   11 − x  + 11 + x   = −  k B N 20   11 − x 2  .  La variable  x  faisant intervenir l’´energie  E  , il faut exprimer cette derni`ere en fonction de latemp´erature, en inversant la formule obtenue `a la question pr´ec´edente,1 − x 1 + x  = exp   2  0 k B T    =  e 2 β 0 donc  x  = 1 − e 2 β 0 1 + e 2 β 0 = − tanh( β 0 ) . On en d´eduit enfin l’expression de la capacit´e calorifique C   en fonction de la seule temp´erature, C   =  N 20 k B T  2  1 − tanh 2    0 k B T    qu’on peut ´ecrire aussi  C   =  N 20 k B T  2 cosh − 2    0 k B T    . 6.  Dans le cas de spins 1/2, l’aimantation est d´efinie comme le moment magn´etique moyenpar unit´e de volume, soit, avec les notations utilis´ees ici, et en d´esignant le volume par  V  , M = − M V  µ B  = −  E V 0 µ B  = − xN V  µ B  =  µ B N V   tanh( β 0 ) =  µ B N V   tanh  µ B B 0 k B T   , en comptant positivement les aimantations orient´ees parall`element au champ magn´etique,et n´egativement celles qui lui sont antiparall`eles. Aux faibles valeurs du champ magn´etique,on peut lin´eariser cette expression, µ B B 0 k B T    1 = ⇒ M≈  µ 2 B N Vk B T  B 0  =  χB 0 , o`u  χ  est la susceptibilit´e magn´etique, d´efinie comme le rapport de l’aimantation au champlorsque celui-ci tend vers z´ero. L’expression ci-dessus montre que la susceptibilit´e varie defa¸con inversement proportionnelle `a la temp´erature  T  , ce qui constitue la loi de Curie. II - Gaz parfait classique 1.  Pour traiter ce probl`eme, on va commencer par consid´erer le cas d’un seul atome enferm´edans une boˆıte cubique de volume  V   =  L 3 . La r´esolution de l’´equation de Schr¨odinger i   ∂ψ∂t  = −   2 2 m ∆ ψ, portant sur la fonction d’onde  ψ ( r ,t ) de l’atome, montre que celle-ci peut s’´ecrire sur labase des ondes planes de la forme ψ ( r ,t ) =  A exp( i k . r )exp  − it     avec    =    2 k 2 2 m  l’´energie de l’atome.Dans cette derni`ere ´equation,  k  est la norme du vecteur d’onde  k , qui est reli´e `a la quantit´ede mouvement par  p  =    k . Les conditions aux limites sur les parois de la boˆıte sp´ecifientles valeurs possibles de ce vecteur. En effet, prenant les conditions aux limites p´eriodiques, k x L  = 2 πn x  k y  = 2 πn y  k z  = 2 πn z  avec  n x ,n y ,n z  trois entiers relatifs.Le vecteur d’onde prend alors des valeurs discr`etes, sur un r´eseau cubique, k  = 2 πL  ( n x u x  + n y u y  + n z u z ) .  Les niveaux ´energ´etiques sont ´egalement discrets, mais l’´ecart entre deux niveaux pour uneboˆıte macroscopique est de l’ordre de 10 − 20 `a 10 − 30 eV, ce qui fait qu’on a en pratiqueaffaire `a un continuum de niveaux. Il est alors permis de parler de densit´e d’´etats  ρ (  ),d´efinie en notant  ρ (  )d   le nombre d’´etats microscopiques dont l’´energie est comprise entre   et    + d  . Cette densit´e d’´etats s’identifie `a la d´eriv´ee de la fonction  W  (  ) d´esignant lenombre d’´etats microscopiques dont l’´energie est inf´erieure ou ´egale `a   , qu’on peut calculerde fa¸con g´eom´etrique, dans l’espace des  k . On obtient en effet  W  (  ) en comptant le nombrede points int´erieurs `a la sph`ere de rayon k 0  = √  2 m    et qui sont ´egalement une extr´emit´e possible du vecteur d’onde . Par cons´equent,  W  (  ) est le rapport du volume de la boule de rayon  k 0  au volume d’unebrique ´el´ementaire autour d’un point du r´eseau cubique, soit W  (  ) =43 πk 30  2 πL  3  = √  23 π 2   3 Vm 3 / 2  3 / 2 et donc  ρ (  ) = d W  d   = 1 √  2 π 2   3 Vm 3 / 2  1 / 2 . 2.  En ce qui concerne le cas de  N   particules libres, identiques et ind´ependantes dans lamˆeme boˆıte de volume  V  , l’´energie de l’´etat macroscopique est donn´ee par la somme des´energies cin´etiques de chacun des atomes constituant le gaz, E   = N   i =1  p 2 i 2 m  =    2 K  2 2 m  o`u  p i  est la quantit´e de mouvement de l’atome  i. La variable  K   d´esigne la norme canonique du vecteur d’onde  K   `a 3 N   dimensions, dont lescomposantes sont celles des  N   vecteurs d’ondes  k i  correspondant aux diff´erentes particules.D’apr`es les conditions aux limites p´eriodiques, chaque vecteur  k i  est de la forme ´ecrite`a la question pr´ec´edente, de sorte que l’´etat microscopique du syst`eme est d´ecrit par unensemble de 3 N   entiers relatifs, et est donc repr´esent´e par un nœud d’un r´eseau cubique `a3 N   dimensions. Le nombre  W  ( E  ) de telles configurations microscopiques dont l’´energie estinf´erieure ou ´egale `a  E   est donn´e par le rapport de deux hypervolumes, `a la mani`ere de cequi vient d’ˆetre fait pour une seule particule, W  ( E  ) =  π 3 N/ 2 K  3 N  0 Γ  3 N  2 + 1   L 2 π  3 N  avec  K  0  = √  2 mE     , ce qui donne, en rempla¸cant, W  ( E  ) = 1Γ  3 N  2 + 1  V  N    mE  2 π   2  3 N/ 2 , puis en d´erivant par rapport `a  E  , ρ ( E  ) = 3 N  2Γ  3 N  2 + 1  V  N    m 2 π   2  3 N/ 2 E  3 N/ 2 − 1 .
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