Prédiction de l effort d extrusion et de la filtration lors de l extrusion à piston de pâtes à forte fraction volumique solide

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Prédiction de l effort d extrusion et de la filtration lors de l extrusion à piston de pâtes à forte fraction volumique solide Hamid KHELIFI 1 1 Université de Bretagne-Sud, Laboratoire d ingénierie des

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Prédiction de l effort d extrusion et de la filtration lors de l extrusion à piston de pâtes à forte fraction volumique solide Hamid KHELIFI 1 1 Université de Bretagne-Sud, Laboratoire d ingénierie des MAtériaux de Bretagne «LiMAtB» Prix Jeunes chercheurs «René Houpert» RÉSUMÉ. Le principal objectif de ce travail est de développer un modèle prédictif de l évolution de l effort d extrusion des matériaux granulaires à forte fraction volumique solide dont le comportement est plastique frottant (matériaux à base cimentaire, argile, ). Pour mettre en place cette modélisation, on a choisi un algorithme utilisant les différences finies dans une configuration monodimensionnelle basée sur la théorie de consolidation afin de prédire l évolution de l effort d extrusion et de quantifier la filtration de la phase liquide. La modélisation est testée sur la pâte de kaolin. Les résultats obtenus valident le modèle établi et procure un très bon ajustement de la modélisation sur les résultats expérimentaux. De plus, elle prend en compte l influence de la vitesse d extrusion, les paramètres rhéologiques et la filtration sur le comportement du matériau lors du processus. ABSTRACT. The aim of this work is to develop a new model able to predict the ram extrusion force of frictional plastic materials such as firm fresh cement-based materials or clay pastes. A quantitative one-dimensional model based on consolidation theory has been developed to predict the extrusion force and quantify liquid phase migration. The model results are compared with experimental data provided by tests carried out on a kaolin paste undergoing ram extrusion. Influences of extrusion rate, rheological parameters and filtration characteristics on extrusion load are investigated. MOTS-CLÉS : Extrusion, écoulement multiphasique, rhéologie, seuil de cisaillement. KEY WORDS: Extrusion, multiphase flow, rheology, yield stress. 1. Introduction L extrusion est un procédé de mise en forme couramment utilisé, notamment pour les céramiques, les alliages métalliques et les polymères. Elle consiste à forcer l écoulement d un matériau à travers une filière dont la géométrie correspond à la section du profilé à fabriquer. 31 èmes Rencontres de l AUGC, E.N.S. Cachan, 29 au 31 mai Dans le domaine du génie civil, ce procédé peut s'avérer d'une très grande utilité. En plus de l'amélioration des performances mécaniques (résistance mécanique, adhérence fibre-matrice), les matériaux extrudés sont aussi plus durables en raison de leur densité plus élevée induite par la spécificité de ce procédé. Malheureusement, malgré le potentiel que présente ce procédé, son utilisation demeure limitée et peu étudiée. L extrusion des géosuspension s applique à des matériaux pouvant être qualifiés de fluide ferme ou de pâte. Ces pâtes sont généralement des mélanges biphasiques : une phase solide portée dans une phase liquide. L extrusion de ces matériaux se caractérise par une grande sensibilité à la filtration du liquide interstitiel à travers le squelette granulaire. La notion de filtration exposée ici est commune avec la mécanique des sols. Le mécanisme est en effet bien connu : sous l effet du gradient de pression dans l extrudeuse, le fluide a tendance à s'écouler à travers le squelette, donc à avancer plus vite que celui-ci. Dans des telles conditions des travaux récents indiquent que le caractère évolutif du matériau et le comportement plastique frottant qui en découle complique la mise en forme et rendent les modèles de calcul habituels, se basant sur un matériau homogène plastique pur, complètement inadaptés. La problématique d un écoulement séparé a été l objet de nombreuses études pour les matériaux cimentaires [PER 06] [PER 08] [PER 09] mais aussi pour les matériaux céramiques [BAR 11] [WIL 12] [MAR 06] [MAS 06]. Certaines de ces études ont simplement observé ce phénomène pour essayer de le quantifier et d autres proposent une modélisation de la filtration basée sur la mécanique des sols et des poudres. En se plaçant dans le cas le plus simple, c'est-à-dire un écoulement d extrusion à piston axisymétrique, on propose une modélisation capable de prédire la transition entre l écoulement initial d extrusion d une pâte homogène à la vidange forcée d un mélange granulaire en fonction de la variation locale de la composition du matériau (et de la surpression interstitielle locale), des lois d évolution du seuil de cisaillement et de l angle de frottement interne qui seront utilisées pour prédire l évolution de l effort d extrusion. Un tel modèle comblerait donc un manque et serait très utile pour prédire les conditions d extrusion optimales en fonction du comportement hydromécanique du matériau (données rhéologiques et de consolidation). 2. Evolution de l indice des vides Tout d'abord, un paramètre d état, ici l indice des vides, est défini. Il permet de décrire spatialement et temporellement l évolution des paramètres de modélisation du comportement hydromécanique du matériau (perméabilité, rhéologie, tribologie). En mécanique des sols, la théorie de la consolidation montre que la variation de l indice des vides d équilibre (fin de consolidation) est reliée à la variation du logarithme de la contrainte appliquée via un coefficient de compressibilité C c : e = e0 C c.log [1] Prédiction de l effort d extrusion et la filtration lors de l extrusion à piston de pâtes à forte fraction volumique solide 3 Cette relation est valable tant que la compacité maximale, correspondant à l indice des vides minimal e min n est pas atteinte (fraction volumique dense φ m ). Ainsi l indice des vides e d équilibre peut être exprimé comme suit : e max( e C.log ; e ) = 0 c min [2] La réécriture de la loi de Darcy en fonction de l indice des vides (équation 5) permet de mettre en relation la variation instantanée de l indice des vides et le gradient spatial de pression interstitielle. Elle permet également d estimer la consolidation en fonction de la distribution de la pression interstitielle au sein de l extrudeuse. 2 de (1 + e) K( e) d u = dt ρ g 2 [3] d f Où K est la perméabilité du squelette granulaire, dépendante de l'indice des vides. La modélisation la plus simple consiste à écrire que l évolution de la perméabilité K est gouvernée par une loi logarithmique [TAY 48]. log K log K0 ( e e0 ) / Ck = [4] Où K 0 est la perméabilité initiale et C k une constante d ajustement. Selon la théorie de consolidation de Teraghi, le degré de consolidation peut être exprimé par la relation suivante : ' U ( ) = = 1- u [5] Ainsi, la variation de la pression interstitielle peut être déduite. ( ) ( ) u( ) ( ).(1 U ( )) ( ). e - e( ) / e - e ( ) = = 0 0 [6] 3. Rhéologie et tribologie des matériaux plastiques frottants La résistance au cisaillement des matériaux plastiques frottants est la combinaison de deux mécanismes : le frottement intergranulaire [LEC 12] et la cohésion. τ = τ 0 ( e ) + tan ϕ ( e ). N [7] Où τ 0 est la cohésion du matériau qui est similaire au seuil de cisaillement mesuré par des essais rhéométriques et ϕ est l angle de frottement interne. L évolution du seuil de cisaillement (cohésion) est supposée suivre une loi puissance entre ses deux valeurs extrêmes (initiale et maximale) : τ 0 ( e ) = a. e b [8] Où a et b sont des constantes obtenues en résolvant ce système de deux équations : 31 èmes Rencontres de l AUGC, E.N.S. Cachan, 29 au 31 mai b τ 0i = a. e0 τ 0max = a. e b min [9] La contrainte de frottement à la paroi est traditionnellement prise égale à une fraction de la contrainte de cisaillement interne. Ainsi, la contrainte de frottement peut s écrire de la manière suivante : τ ( ) = τ ( e ). m [10] w e Où m est un coefficient qui, pour la pâte de kaolin étudiée et l extrudeuse utilisée, égale à 0,65 [PER 12]. Durant l extrusion, l évolution de l angle de frottement, supposée similaire à celle d un sol en consolidation, est modélisée comme suit : ϕ = 0 si e e0 e e ϕ = ϕ ϕ = ϕmax si emin e eperc perc max. si eperc e e0 eperc e0 [11] 4. Modélisation de l extrudeuse 4.1. Ecoulement d extrusion En se basant sur les études typologiques de l écoulement d extrusion des matériaux plastiques frottants menés par [PER 06] [BAS 05] [RAB 10], on propose une série d'hypothèses simplificatrices afin d établir notre modélisation : - L'effort d'extrusion est considéré comme l'addition d'un effort de mise en forme plastique F pl et d'un effort de frottement à la paroi Ffr [PER 12] (figure 1). - Durant l'extrusion, le matériau est considéré comme saturé (hypothèse applicable aux géosuspensions concentrées dont la pâte de kaolin étudiée fait partie). - Le mouvement fluide ne se fait que dans la direction définie par l axe de l extrudeuse. Le modèle est donc monodimensionnel. - L écoulement d extrusion se décompose en trois parties distinctes (figure 1) : 1. Un écoulement bouchon localisé dans le corps de l extrudeuse où la pâte semble glisser par frottement sur la paroi. 2. Une one conique statique appelée one morte agissant comme un rétrécissement progressif conique. Il est largement considéré que le demi-angle d ouverture du cône décrit par la one morte est de 45. Ainsi, sa longueur est modélisée comme suit [MAS 05] [PER 12] : Ld = 0,5.(D-d) [12] Prédiction de l effort d extrusion et la filtration lors de l extrusion à piston de pâtes à forte fraction volumique solide 5 3. Une one de mise en forme localisée dans le cône de one morte où le diamètre du matériau diminue. F 0 h τ w r q piston Zone 1 Ecoulement bouchon Ld τ w q pl F pl Zone 2 Ecoulement cisaillé dans la one de mise en forme d D () Zone 3 Zone morte Figure 1 : Répartition des forces pour une extrusion axisymétrique à piston 4.2. Distribution des contraintes dans le corps de l extrudeuse Afin de lier les paramètres décrivant le comportement du matériau dans l extrudeuse à la contrainte axiale, on utilise une distribution de contraintes dans le matériau de type Janssen. Le modèle de Janssen suppose qu'à une altitude donnée la contrainte normale à la surface r () est proportionnelle à la contrainte axiale () : ( ) = k ( ) [13] r Selon Jacky [JAC 44], le coefficient de proportionnalité k dépend de l angle de frottement interne ϕ du matériau. [ ] r ( ) = 1 sin ϕ( e). ( ) [14] A partir des conditions d équilibre d une couche cylindrique élémentaire de matériau en écoulement bouchon, située entre et + d, on obtient : 4 ( + d) = ( ) +. τ w( ). d [15] D En combinant les équations 15, 14, 13, 10 et 7, on obtient : 4d ( + d) = ( ) + τ ( e) + tan ϕ( e) 1 sin ϕ( e) ( ) m. D 0 ( ) [16] 31 èmes Rencontres de l AUGC, E.N.S. Cachan, 29 au 31 mai Cette relation permet d obtenir l évolution du profil instantané de contrainte axiale agissant dans la one en écoulement bouchon, et ce pour toutes les positions du piston, en fonction des caractéristiques intrinsèques au matériau, qui évoluent avec l avance du piston. Des conditions aux limites sont établies sur l interface matériau/extrudeuse et à l interface écoulement bouchon/écoulement de mise en forme pour effectuer le calcul du profil de contrainte. La contrainte au niveau de l interface entre la one de mise en forme et l écoulement bouchon ( = 0) est égale à [BAS 05] [PER 12] : 2 pl = 4 Fpl / π. D [17] À l image de certaines études bibliographiques l effort de mise en forme plastique est la somme de trois composantes : - L effort de déformation plastique et l effort de frottement à la sortie de l orifice modélisés par le modèle de Benbow et Bridgwater [BEN 93]. - L effort de frottement sur la one morte conique modélisé par le modèle de Deng [DEN 97]. Au niveau du piston ( = h), la contrainte totale d extrusion est calculée en additionnant la force de friction à la paroi Ffr générée au long de la paroi de l extrudeuse à l effort de mise en forme plastique F pl : π D² F = ( = h) = Fpl + Ffr [18] Conditions aux limites vis-à-vis la filtration La filtration de la phase liquide de la couche adjacente au piston et celle adjacente à la one de mise en forme plastique sont délicates à calculer ou à modéliser en raison des barrières partiellement étanches formées par ces sections. Les quantités d eau traversant ces ones sont prises en compte par des paramètres de fuite q piston et q pl. Ces deux paramètres de fuite seront les paramètres ajustés pour permettre la meilleure adéquation entre les données expérimentales et le modèle. 5. Application du modèle à la pâte de kaolin L extrudeuse à piston utilisée est de forme cylindrique de 43,3 mm de diamètre intérieur équipée d une filière de type contraction brutale. Le rapport d extrusion utilisé d/d, rapport du diamètre d entrée de l extrudeuse au diamètre de sortie de la filière est de 0,36. Les tests sont réalisés, à différentes vitesses (de 0,033 à 1 mm/s), sur une pâte de kaolin dont les propriétés rhéologiques, tribologiques et de consolidations ont été mesurées pour cette étude ou trouvées dans la littérature (tableau 1). Prédiction de l effort d extrusion et la filtration lors de l extrusion à piston de pâtes à forte fraction volumique solide 7 Le modèle développé, modèle monodimensionnel résolu par la méthode des différences finies dans des conditions oedométriques, présente de bonnes capacités de prédiction de l évolution de l effort d extrusion en fonction du déplacement du piston et prend en compte l effet de la vitesse d extrusion sur l effort et le comportement (figure 2). La vitesse d extrusion la plus élevée limite le phénomène de drainage, durant le processus, le matériau demeure homogène et se comporte comme un matériau plastique pur. Au fur et à mesure de la diminution de la vitesse d extrusion, le phénomène de filtration de la phase liquide s accentue, des hétérogénéités apparaissent et le matériau se comporte comme un matériau plastique frottant. Paramètres ajustés (indépendants de la vitesse d extrusion, liés aux caractéristiques du matériau) q piston 3, q pl 3, Figure 2 : Comparaison entre courbes modélisées et courbes expérimentales Paramètres mesurés Paramètres issus de la littérature e 0 e min K 0 [m/s] C k τ 0i [kpa] τ max [kpa] ϕ max [ ] C c [REN 10] m [PER 12] 1,15 0,31 3, , ,34 0,65 Tableau 1 : Les principales caractéristiques du matériau étudié 6. Conclusion Une méthode de modélisation de l effort d extrusion d une pâte ferme subissant un drainage de la phase fluide en fonction du déplacement du piston est développée (dans une configuration monodimensionnelle, le problème est résolu par la méthode des différences finies). Inspirée de la mécanique des sols, la définition d un paramètre d état, ici l indice des vides, permet de suivre l évolution spatiale et temporelle des paramètres de modélisation du comportement hydromécanique du matériau (perméabilité, rhéologie, tribologie). 31 èmes Rencontres de l AUGC, E.N.S. Cachan, 29 au 31 mai L utilisation de la théorie de la consolidation dans une colonne avec une distribution de contrainte de type Janssen a permis d estimer les variations instantanées de composition et de contrainte au sein de l extrudeuse. De même, un paramètre de fuite permet de modéliser les pertes d eau au niveau du piston et de l entrée de la one morte pour prendre en compte la filtration se produisant à travers ces frontières partiellement étanches. Toutefois, certains points comme la modélisation de la one de mise en forme et le contrôle des débits traversant les ones frontières sont des paramètres à améliorer. 7. Référence [BAS 05] Basterfield R.A., Lawrence C.J., Adams M.J.,«On the interpretation of orifice extrusion data for viscoplastic materials», Chemical Engineering Science, vol. 60, 2005, p [BAR 11] Bardesley M.A., Bridgwater J.,«Evaluation of liquid phase migration in pastes and gels», Industrial & Engineering Chemistry Research, vol. 51, 2011, p [BEN 93] Benbow J.J., Bridgwater J., «Paste Flow and Extrusion», Clarendon Press, Oxford, [DEN 97] Q. Deng, H. Liu, «Analysis of coal log ram extrusion», Powder Technology, vol. 91, 1997, p [JAC 44] Jacky J., «The coefficient of earth pressure at rest», Journal for Society of Hungarian Architects and Engineers, 1944, p [LEN 12] Lecompte T., Perrot A., Picandet V., Bellegou H., Amiane S., «Cement-based mixes: Shearing properties and pore pressure», Cement and Concrete Research, vol. 42, 2012, p [MAR 06] P.J. Martin, D.I. Wilson, P.E. Bonnett, «Paste extrusion through non-axisymmetric geometries: Insights gained by application of a liquid phase drainage criterion», Powder Technology, vol. 168, 2006, p [MAS 06] S. Mascia, M.J. Patel, S.L. Rough, P.J. Martin, D.I. Wilson, «Liquid phase migration in the extrusion and squeeing of microcrystalline cellulose pastes», European Journal of Pharmaceutical Sciences, vol. 29, 2006, p [PER 06]Perrot A., Lanos C., Estellé P., Melinge Y., «Ram extrusion force for a frictional plastic material: model prediction and application to cement paste», Rheologica Acta, vol. 45, 2006, p [PER 09] Perrot A., Rangeard D., Mélinge Y., Estellé P., C. Lanos, «Extrusion criterion for firm cementbased materials», Applied Rheology, vol. 19, 2009, p [PER 12] Perrot A., Rangeard D., Mélinge Y., Micaelli F., Estellé P., Lanos C., «Use of ram extruder as a combined rheo-tribometer to study the behaviour of high yield stress fluids at low strain rate», Rheologica Acta, vol. 51, 2012, p [RAB 10] Rabideau B.D., Moucheront P., Bertrand F.o., Rodts S.P., N. Roussel, C. Lanos, P. Coussot, «The extrusion of a model yield stress fluid imaged by MRI velocimetry», Journal of Non- Newtonian Fluid Mechanics, vol. 165, 2010, p [RAN 10]Rangeard D., Perrot A., Mélinge Y., «Consolidation characteristics evolution of clay under solicitation», 6th World Congress on Particle Technology, Nuremberg, [TAY 48] Taylor D.W.,«Fundamentals of Soil Mechanic», John Wiley and Sons, New York, [WIL 12] Wilson D.I., Rough S.L., «Paste engineering: Multi-Phase materials and multi-phase flows», The Canadian Journal of Chemical Engineering, vol. 90, 2012, p
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