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Spé ψ 2012-2013 Devoir n°4 MÉCANIQUE DES FLUIDES d’après Centrale PC 2011 et Mines-Ponts PSI 2010 Partie I I-1) La force de viscosité est dans le plan de la surface sur laquelle elle s’exerce. La force JG ∂v ( y, t )

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  Spé ψ  2012-2013   page 1/11 Devoirn°4 Spé ψ  2012-2013 Devoir n°4 MÉCANIQUE DES FLUIDES d’après Centrale PC 2011 et Mines-Ponts PSI 2010Partie I I-1) La force de viscosité est dans le plan de la surface sur laquelle elle s’exerce. La forceexercée par la couche supérieure sur la couche inférieure est ( ) XVISCX , v y t dF dS u y ∂= η∂   .On a ( ) ( )( ) 2 dimLdimdimL F v η =  ( ) 2 dimTL F  = 22 MLTTL − = 11 MLT − − = . On peut utiliser comme unitéle kg ⋅ m  –1 ⋅ s  –1  ou le Pa ⋅ s ou le Pl (poiseuille).Cette force est la conséquence du transfert de quantité de mouvement  portée par les mo-lécules de fluide qui traversent la surface de cote  y  en venant de  y  + dy .Ce déplacement le long de Y u   est dû à l’agitation thermique , ce qui caractérise un phéno-mène de diffusion au contraire d’un transport convectif qui est lié à la vitesse d’ensemble XX v v u =   .I-2) La paroi à la cote  y , d’aire dS   = dxdz , est soumise à laforce de viscosité ( ) XVISC,X ,  y v y t dF dS u y ↑ ∂= −η∂    de la part de lacouche inférieure.La paroi de cote  y  + dy  est de même soumise à la force ( ) XVISC,X ,  y dy v y t dF dS u y ↓+ ∂= +η∂    de signe est positif car elle estexercée par la couche supérieure.La force de viscosité résultante est donc 2XXXVISC,XXX2 ...  y y y v v vdF dS u dy dS u y y y ⎡ ⎤∂ ∂ ∂= − η +η + +⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦      2XX2  y vdydS u y ∂= η∂  .On reconnaît d  τ  = dydS =   dx . dy . dz  qui est le volume du cube d’où 2XVISC,XX2  y vdF d u y ∂= η τ∂   .Comme 2X2 0  y v x ∂=∂  et 2X2 0  y v z ∂=∂  pour l’écoulement étudié ici, on peut écrire 222XXXVISC,XX222  y y y v v vdF d u x y z ⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎜ ⎟= η + + τ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠   XX v d u = ηΔ τ   Comme v Y  = 0 et v Z  = 0, on peut écrire aussi XX v u v Δ = Δ    et il reste VISC dF v d  = ηΔ τ   .I-3-a) On applique la deuxième loi de Newton à une particule de fluide de volume d  τ  dans leréférentiel lié au sol qui est supposé galiléen : PRESSIONPESANTEURVISCOSITE dm a dF dF dF  = + +      y  + dy y VISC, dF   ↓  VISC, dF   ↑   x z  Spé ψ  2012-2013   page 2/11 Devoirn°4 avec dm = μ d  τ, ( ) grad va v vt  ∂= + ⋅∂      dans le point de vue d’Euler, ( ) PRESSION grad dF p d  = − τ   , PESANTEUR  dF dm g d g = =μ τ     et VISC dF v d  = ηΔ τ   .Après simplification par d  τ , il reste ( )  ( ) gradgrad vv v g p vt  ⎡ ⎤∂μ + ⋅ =μ − + ηΔ⎢ ⎥∂⎢ ⎥⎣ ⎦              b) On a ( ) X .grad v v x ∂⋅ =∂      ici puisque v   n’a de composante que sur X u  . Comme v X ne dépend pas de  x , il reste ( ) grad0 v v ⋅ =       . Pour les mêmes raisons, on peut écrire 2XX2 vv u y ∂Δ =∂   .L’axe Ox  est supposé horizontal donc g   n’a pas de composante sur X u  .La pression ne dépend pas de  x , donc ( ) grad  p   n’a pas de composante sur X u  .L’équation de Navier-Stokes se projette donc en ( ) ( ) 2XX2 ,, v y t v y t t y ∂ ∂μ = η∂ ∂ . Cette équationrelie une dérivée partielle du premier ordre par rapport à t   et une dérivée partielle du deuxième or-dre par rapport à une variable de position (  y ). C’est une équation de type diffusion.On peut l’écrire aussi ( ) ( ) 2XX2 ,, v y t v y t t y ∂ ∂= ν∂ ∂  en posant / ν = η μ .D’après l’étude faite précédemment, on a ( ) 11213 MLTdimLTML − −−− ν = = . L’unité de ν  est doncle m 2 ⋅ s –1 .I-4) Avec les grandeurs caractéristiques, on peut définir les variables sans dimension t  *  = t  / τ ,  y *  =  y /  L Y . L’équation de la diffusion devient ( ) ( ) 2XX*2*2Y ,,11 v y t v y t t L y ∂ ∂μ = ητ ∂ ∂ . Le choix des gran-deurs caractéristiques est correct si ( ) ( ) 2XX**2 ,, v y t v y t t y ∂ ∂≈∂ ∂  donc il reste 2Y  L μ η≈τ  soit Y  L  ≈ ν τ . Partie II II-1) Lorsque le fluide atteint l'abscisse longitudinale  x 0 , la perturbation de la quantité demouvement provoquée par l’extrémité de l’obstacle s’est propagée transversalement par diffusionsur une distance de l'ordre de ν τ  avec 0 /  x U  τ =  est la durée de la propagation longitudinale.On a donc ( ) 00 /  x x U  δ ≈ ν .II-2) En prenant  x 0  comme dimension caractéristique de l’écoulement de vitesse longitudi-nale U  , le nombre de Reynolds est défini par 0 0 e  x  x U  R  =ν .II-3) On a ( ) 000  x x x U  δ ν≈  d’où ( ) 0 00 1  x  x x Re δ≈ .II-4) Par définition, l’effet de la viscosité n’existe qu’à l’intérieur de la couche limite. Lanotion de « couche » limite suppose qu’une zone importante de l’écoulement ne subit pas d’effet dela viscosité. Cela correspond donc à ( ) 200 /10  x x  − δ <  ce qui nécessite 0 4 10  x  Re  > .  Spé ψ  2012-2013   page 3/11 Devoirn°4 Partie III III-1-a) L’équation de Navier Stokes s’écrit ( )  ( ) gradgrad vv v g p vt  ⎡ ⎤∂μ + ⋅ =μ − + ηΔ⎢ ⎥∂⎢ ⎥⎣ ⎦             .L’écoulement est stationnaire donc 0 vt  ∂=∂      .On a ( )  x x v v y u =      donc ( )  ( ) ( ) grad0  x x x v yv v v y e x ∂⋅ = =∂        et ( ) 22  x x d v yv edy Δ =   .Comme  y g g e = −    et ( ) ( ) ( ) ,,grad  x y  p x y p x y p e e x y ∂ ∂= +∂ ∂    , il vient ( ) ( )( ) 22 ,0,0  x  p x y d v y x dy p x yg y ⎧ ∂= − +η⎪∂⎪⎨∂⎪= −μ −⎪ ∂⎩ . b) D’après ce qui précède, on a ( ) ( ) 22 ,  x  p x y d v y x dy ∂= η∂ . Si l’on dérive par rapport à  x ,on obtient ( ) ( ) 22 ,  x  p x y d v y x x x dy ⎛ ⎞∂⎛ ⎞∂ ∂= η ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ . Comme v  x  ne dépend que de  y , il vient ( ) ,0  p x y x x ∂⎛ ⎞∂=⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠  qui s’intègre en ( )( ) ,  p x y f y x ∂=∂ .On en déduit ( ) ( ) ,  p x y df y y x dy ⎛ ⎞∂∂=⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ . Or la deuxième projection conduit à ( ) ,  p x yg y ∂= −μ∂  donc ( ) 2 ,0  p x y x y ∂=∂ ∂ .La condition de Cauchy Schwartz entraîne ( ) ( ) ( ) 22 ,,0 df y p x y p x ydy y x x y ∂ ∂= = =∂ ∂ ∂ ∂ . On peutalors intégrer en  f  (  y ) = K  .Il reste finalement ( ) ,  p x yK  x ∂=∂ c) On peut alors écrire ( ) 22 /  x d v yK dy = η  qui s’intègre en ( ) /  x dv yKy ady = η+  puis en ( ) 2 2  x K v y y ay b = + +η .La condition de non glissement imposée au contact des parois par la viscosité du fluide setraduit par 2 02222  x d K d d v a b ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟η⎝ ⎠ ⎝ ⎠  et 2 02222  x d K d d v a b ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − + − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟η⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ .  Spé ψ  2012-2013   page 4/11 Devoirn°4 La somme des deux équations conduit à 2 22022 K d b ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟η⎝ ⎠  soit 2 22 K d b  ⎛ ⎞= − ⎜ ⎟η⎝ ⎠ . La diffé-rence conduit à 202 d a ⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠  d’où a  = 0. Il reste donc ( ) 22 22  x K d v y y ⎛ ⎞⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟η ⎝ ⎠⎝ ⎠ .Le profil des vitesse (c’est-à-dire la courbe des extrémités des vecteurs v   ayant leur srcineen différents points d’une même section) varie comme  y 2 . On peut dire que le profil est paraboli-que .III-2-a) L’équation ( ) ,  p x yK  x ∂=∂  s’intègre en ( ) ( ) ,  p x y Kx g y = + .On a donc ( ) ( ) ,,  p p x y p x L y Δ = − +  ( ) ( ) ( ) ( ) Kx g y K x L g y = + − + +  = –  KL .Par définition, le débit volumique à travers une section de l’é »coulement est V :  S S   D v n dS  = ⋅ ∫∫   . On repère le point courant de l’intégrale dans la base cartésienne donc dS = dydz et S x n e =    si l’on oriente le débit dans le sens de l’écoulement. Avec 22 22  x K d v y e ⎛ ⎞⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟η ⎝ ⎠⎝ ⎠   , il vient 22V 22  x x K d  D y e e dydz ⎛ ⎞⎛ ⎞= − ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟η ⎝ ⎠⎝ ⎠ ∫∫    2/220/2 22 h d d  K d dz y dy − ⎛ ⎞⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟η ⎝ ⎠⎝ ⎠ ∫ ∫ 32 22322 K d d h d  ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟η ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ 3 12 Kd h = −η . On obtient donc finalement 3V 12 hd p D L Δ=η . b) L’intensité  i  dans une branche est un débit de charge et la tension entre deux bor-nes est une différence de potentiel Δ V  . La loi d’Ohm   V i R Δ=  est formellement identique à la précé-dente. On peut donc faire une analogie en posant H3 12  L Rhd  η= .c) Si l’épaisseur est divisée par 2, le débit est divisé par 8. Avec deux canalisationsidentiques mises en parallèle, on aura donc un débit  D V /4.La résistance électrique d’un conducteur de résistivité ρ , de section hd   et de longueur  L  est d   L Rhd  =ρ  (la résistivité est l’analogue de la viscosité). Pour une épaisseur d  /2, on obtient donc /2 2 d   L Rhd  =ρ  et l’intensité /2 /2 d d  i i = . Avec deux résistances d’épaisseur d  /2 mises en parallèle de latension Δ V  , l’intensité totale sera donc identique à celle qui traverse une seule résistance d’épaisseur  d  .Pour un écoulement, les diminutions de section de l’écoulement (pour une même perte decharge) réduisent considérablement le débit (voir les problèmes de circulation sanguine).III-3-a) On peut considérer que les effets de viscosité occupent tout l’écoulement lorsquel’épaisseur de la couche limite est égale à d  /2. D’après la question II-1, on sait que ( ) 00 /  x x U  δ ≈ ν  donc 1 //2  x U d  ν ≈  soit 21 4 Ud  x  ≈ν . b) On a 1 4  x Ud d  ≈ν . En prenant comme dimension caractéristique l’épaisseur d  , lenombre de Reynolds s’écrit Ud  Re  =ν  et il reste 1 4  x Red  ≈ .
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