DM28_1213

Description
exam

Please download to get full document.

View again

of 7
All materials on our website are shared by users. If you have any questions about copyright issues, please report us to resolve them. We are always happy to assist you.
Information
Category:

Documents

Publish on:

Views: 2 | Pages: 7

Extension: PDF | Download: 0

Share
Tags
Transcript
  DM2  8  ã T 5  DM28 ã  Moteur et d´etente de l’h´eliumI Cycle moteur  [V´eto 2001] Attention :  une grande attention sera port´ee `a la qualit´e des applications num´eriques (les donneravec 3 ou 4 chiffres significatifs)Un moteur ditherme fonctionne entre deux thermostatsselon un cycle constitu´e de deux transformations adiaba-tiques r´eversibles et de deux transformations isochores. Lestemp´eratures des thermostats sont  T  FR  (source froide) et T  CH  (source chaude) avec  T  FR  < T  CH . Le cycle est d´ecritpar  n  moles de gaz suppos´e parfait de capacit´e thermmiquemolaire `a volume constant  C  Vm  constante. Pour ce gaz,le rapport  γ   de la capacit´e thermique molaire `a pressionconstante  C  Pm  et de  C  Vm  est ´egal `a 1 , 4.Les diff´erentes transformations du cycle sont :-  A → B  : compression adiabatique r´eversible de dur´ee ∆ t ;-  B  → C   : compression isochore par contact du gaz avec lasource chaude par l’interm´ediaire des parois du cylindre qui  A BC  DPV T  FR T  CH V   A = V   D V   B = V  C  le contient pendant une dur´ee ∆ t 1  ;-  C   → D  : d´etente adiabatique r´eversible de dur´ee ∆ t ;-  D → A  : d´etente isochore par contact du gaz avec la source froide par l’interm´ediaire des paroisdu cylindre qui le contient pendant une dur´ee ∆ t 2 .On ne tiendra pas compte de la capacit´e thermique du cylindre contenant le gaz.Chaque grandeur pression  P  , volume  V    et temp´erature  T   du gaz en un point du cycle seraindic´ee par la lettre de ce point.On notera  α  le rappport volum´etrique  V   A V   B =  V   D V   C  =  α . Donn´ees :  T  FR  = 350  K   ;  T  CH  = 1100  K   ;  α  = 10.Constante des gaz parfaits :  R  = 8 , 314  J.K  − 1 .mol − 1 ;  n  = 0 , 05  mol .∆ t  = 1 , 00 . 10 − 2 s ; ∆ t 1  = 4 , 43 . 10 − 2 s ; ∆ t 2  = 3 , 45 . 10 − 2 s . 1)  ´Etablir la relation de  Mayer . En d´eduire les expressions de  C  Vm  et  C  Pm  en fonction de  R  etde  γ  . A.N. :  calculer  C  Pm  et  C  Vm . 2)  Montrer que pour une transformation isentropique r´eversible d’un gaz parfait de rapport  γ  constant, on a la relation  PV   γ  =  Cte .En d´eduire l’expression litt´erale de  T  B  en fonction de  T  A ,  α  et  γ  , ainsi que celle de  T  D  en fonctionde  T  C  ,  α  et  γ  . A.N. :  calculer  T  B  et  T  D  sachant que  T  A  = 390  K   et  T  C   = 1000  K  . 3)  D´eterminer, en fonction de  n ,  R ,  T  A ,  T  C  ,  α  et  γ  , les expressions litt´erales :- du transfert thermique  Q C   re¸cu par le gaz, pendant la dur´ee du cycle, de la part de la sourcechaude;- du transfert thermique  Q F   re¸cu par le gaz, pendant la dur´ee du cycle, de la part de la sourcefroide. A.N. :  calculer  Q C   et  Q F  . 4)  D´eterminer, en fonction de  n ,  R ,  T  A ,  T  C  ,  α  et  γ  , l’expression litt´erale du travail  W   re¸cu par       D     M     2     8       ã      T     5 Cycle moteur et d´etente de l’h´elium  2012-2013 le gaz pendant la dur´ee d’un cycle.Quelle est la puissance moyenne  P   de ce moteur? A.N. :  calculer  W   et  P  . 5)  D´efinir le rendement  η  de ce cycle moteur. D´eterminer l’expression litt´erale de  η  en fonctionuniquement de  α  et de  γ  . A.N. :  calculer  η . 6)  D´emontrer l’expression litt´erale de la valeur maximale  η max  du rendement pr´evue par leth´eor`eme de  Carnot ? A.N. :  calculer  η max . Comparer  η  et  η max . Que peut-on en conclure? 7)  D´eterminer, en fonction de  n ,  R ,  T  A ,  T  C  ,  α  et  γ  , les expressions litt´erales ∆ S  AB , ∆ S  BC  ,∆ S  CD  et ∆ S  DA , de la variation d’entropie du gaz pour les quatre transformations du cycle. A.N. :  calculer ∆ S  DA  et ∆ S  BC  . 8)  Quelle est la variation d’entropie du gaz au cours d’un cycle? 9)  D´eterminer, en fonction de  n ,  R ,  T  A ,  T  C  ,  T  CH ,  α  et  γ  , la variation d’entropie ∆ S  CH  de lasource chaude. A.N. :  calculer ∆ S  CH . 10)  D´eterminer, en fonction de  n ,  R ,  T  A ,  T  C  ,  T  FR ,  α  et  γ  , la variation d’entropie ∆ S  FR  de lasource froide. A.N. :  calculer ∆ S  FR . 11)  Quelle est la variation d’entropie ∆ S  ∞ , au cours d’un cycle, du syst`eme constitu´e del’ensemble des sources de chaleur et du gaz? A.N. :  calculer ∆ S  ∞ . Commenter le r´esultat. 12)  Que les transferts thermiques aient lieu avec l’une ou l’autre des sources, on suppose que,`a partir de l’instant  t  et pendant une dur´ee infinit´esimale d t , ils sont de la forme :   δQ C   =  λ ( T  CH − T  ( t )) . d t  au cours de la transformation  B  → C δQ F   =  λ ( T  FR − T  ( t )) . d t  au cours de la transformation  D → AT  ( t ) ´etant la temp´erature du gaz, suppos´ee uniforme, `a la date  t  et  λ  une constante positive.On prendra  λ  = 4 , 5  uSI  . 12.a)  Quelle est l’unit´e de  λ , exprim´ee en fonction des unit´es de travail, de temp´erature et detemps du syst`eme international? 12.b)  Quelle est l’unit´e de  λ , exprim´ee en fonction des unit´es fondamentales du syst`eme inter-national? 13)  On pose  τ   =  nC  Vm λ  . D´eterminer la relation entre  T  FR ,  T  A ,  T  D ,  τ   et ∆ t 2 .Quelle est l’unit´e fondamentale de  τ   ? Que repr´esente  τ   ? 14)  D´eterminer la relation entre  T  CH ,  T  B ,  T  C  ,  τ   et ∆ t 1 . 15)  D´eterminer les valeurs limites  T  A, lim  et  T  C, lim  de  T  A  et  T  C   lorsque ∆ t 1  et ∆ t 2  tendent versl’infini. 16)  Repr´esenter le cycle moteur ´etudi´e dans le diagramme entropique en justifiant th´eoriquementles allures des courbes repr´esentatives de chaque transformation. Y faire ´egalement apparaˆıtreles isothermes  T  CH  et  T  FR . 2  http://atelierprepa.over-blog.com/  Qadri J.-Ph.  |  PTSI  2012-2013 DM2  8  ã T 5  Cycle moteur et d´etente de l’h´elium II D´etente de l’h´elium  [ENAC 2006, q. 19-24] Une enceinte cylindrique ferm´ee par un piston, mo-bile sans frottement, contient 500 g  d’h´elium gazeux,monoatomique, de masse molaire  M   = 4  g.mol − 1 .Dans l’´etat (1) initial, le volume de l’enceinte est V   1  = 100  L , et le gaz, suppos´e parfait, est `a latemp´erature  T  1  = 600  K  .On rappelle que l’´energie interne de  n  moles de gazparfait monoatomique `a la temp´erature  T   s’´ecrit : U   = 32 nRT  , o`u  R  = 8 , 31  J.K  − 1 .mol − 1 d´esigne la constante des gaz parfaits. 1)  Calculer la capacit´e thermique massique `a volume constant  c V    de l’h´elium :A)  c V    = 1 , 38  kJ.K  − 1 .kg − 1 B)  c V    = 2 , 91  kJ.K  − 1 .kg − 1 C)  c V    = 3 , 12  kJ.K  − 1 .kg − 1 D)  c V    = 5 , 19  kJ.K  − 1 .kg − 1 2)  Par d´eplacement du piston, le gaz subit une d´etente isotherme, suppos´ee r´eversible, qui leconduit `a l’´etat (2) caract´eris´e par un volume  V   2  = 250  L .Calculer la pression  P  2  du gaz dans ce nouvel ´etat :A)  P  2  = 2 , 49 . 10 6 Pa  B)  P  2  = 2 , 49 . 10 3 Pa C)  P  2  = 9 , 97 . 10 6 Pa  D)  P  2  = 9 , 97 . 10 3 Pa 3)  Quel est le travail  W  12  re¸cu par le gaz au cours de cette ´evolution isotherme?A)  W  12  = − 2280  kJ   B)  W  12  = − 571  kJ  C)  W  12  = 571  kJ   D)  W  12  = 2280  kJ  4)  On envisage une nouvelle ´evolution r´eversible, constitu´ee d’une d´etente adiabatique entrel’´etat (1) et un ´etat interm´ediaire (3) de volume  V   3  =  V   2 , suivie d’un chauffage isochore entrel’´etat (3) et l’´etat final (2), d´efini pr´ec´edemment. D´eterminer la temp´erature  T  3  de l’´etat in-term´ediaire :A)  T  3  = 326  K   B)  T  3  = 416  K   C)  T  3  = 866  K   D)  T  3  = 1105  K  5)  Calculer le travail  W  132  re¸cu par le gaz au cours des ´evolution successives : (1)  →  (3)  →  (2) :A)  W  132  = − 287  kJ   B)  W  132  = − 427  kJ  C)  W  132  = 414  kJ   D)  W  132  = 787  kJ  6)  D´eterminer la variation d’entropie ∆ S   du gaz entre l’´etat (1) et l’´etat (2) :A) ∆ S   = − 3807  J.K  − 1 B) ∆ S   = − 952  J.K  − 1 C) ∆ S   = 952  J.K  − 1 D) ∆ S   = 0  J.K  − 1 7)  Repr´esenter dans le diagramme de  Watt  les trois ´etats thermodynamiques ((1), (2) et (3))ainsi que les courbes des trois ´evolutions ´etudi´ees ((1)  →  (2), (1)  →  (3) et (3)  →  (2)). Onprendra soin de faire apparaˆıtre  P  1 ,  P  2 ,  V   1  et  V   2 . 8)  ´Etablir, pour un ´etat interm´ediaire  { S, T  }  de la transformation isochore r´eversible entre (3)et (2), l’expression donnant la temp´erature  T   en fonction de l’entropie  S  , de  S  1 , de  T  3  et de  C  V   (capacit´e thermique `a volume constant). 9)  Repr´esenter dans le diagramme entropique les trois ´etats thermodynamiques ainsi que lescourbes des trois ´evolutions ´etudi´ees. On prendra soin de faire apparaˆıtre  T  1 ,  T  3 ,  S  1  et  S  2 . Qadri J.-Ph.  |  PTSI  http://atelierprepa.over-blog.com/  3       D     M     2     8       ã      T     5 Cycle moteur et d´etente de l’h´elium  2012-2013 Solution I. Cycle moteur  –  1)   Cf Cours  :  C  Pm − C  Vm  =  R  (relation de  Mayer , pour un GP ). C  Pm  =  γRγ  − 1 = 29 , 10  J.K  − 1 .mol − 1 et  C  Vm  =  Rγ  − 1 = 20 , 78  J.K  − 1 .mol − 1 . 2)  Une transformation isentropique r´eversibl´e ´etant une transformation quasi-statique, `a entro-pie constante, on peut appliquer la premi`ere identit´e thermmodynamique, pour un gaz parfait(v´erifiant donc la premier loi de  Joule ) :d S   =  0d U  GP  + P  d V  T   =  nC  Vm d T T   + nR d V  V    =  nRγ  − 1(dln T   + ( γ  − 1)dln V   )  ⋆  On ´en d´eduit un des trois relation de  Laplace  pour un gaz parfait subissant une isentropiquer´eversible (=adiabatique r´eversible) :  TV   γ  − 1 =  Cte  ; soit, puisque  PV    =  nRT   :  PV   γ  =  Cte Donc,  comme  T  A V   γ  − 1 A  =  T  B V   γ  − 1 B  , on en d´eduit :  T  B  =  T  A α γ  − 1 = 979 , 6  K  et comme  T  D V   γ  − 1 D  =  T  C  V   γ  − 1 C   , on en d´eduit :  T  D  =  T  C  α 1 − γ  = 398 , 1  K  3)  La transformation  B  → C   ´etant une isochore et concernant un gaz parfait (qui v´erifie doncla premi`ere loi de  Joule ) :  Q C   =  Q B → C,V    = ∆ U  B → C, GP  =  nC  Vm ( T  C   − T  B ) soit : Q C   =  nRγ  − 1( T  C   − T  A α γ  − 1 ) = 21 , 16  J  De mˆeme :  Q F   =  Q D → A,V    = ∆ U  D → A, GP  =  nC  Vm ( T  A − T  D ) soit : Q F   =  nRγ  − 1( T  A − T  C  α 1 − γ  ) = − 8 , 43  J  4)  D’apr`es le premier principe de la Thermodynamique appliqu´e au gaz subissant un cycle,l’´energie interne ´etant fonction d’´etat : ∆ U   =   0 W   + Q C   + Q F  soit :  W   = − Q C   − Q F   , d’o`u : W   =  nRγ  − 1  T  A  α γ  − 1 − 1   + T  C   α 1 − γ  − 1   = − 12 , 74  J   et  P   =  W  2∆ t + ∆ t 1  + ∆ t 2 = − 128 , 9  W  5)  η  =  grandeur utilegrandeur investie  = − W Q C  Soit, d’apr`es le premier principe :  η  = 1 +  Q F  Q C  , ce qui conduit `a :  η  = 1 − α 1 − γ  = 60 , 2% 6)   Cf Cours  : Pour le cycle de  Carnot  entre deux thermostats  T  CH  et  T  FR  le rendement s’´ecrit : η max  = 1 −  T  FR T  CH = 68 , 2% Commentaire :  η max  > η . On v´erifie que le cycle r´eel est un cycle irr´eversible et que le cyclede  Carnot  correspond au rendement maximal d’un cycle moteur fonctionnant entre les deuxthermostats consid´er´es. 7)  ã  ∆ S  AB  = ∆ S  CD  = 0 (transformations isentropiques) ã  La transformation  B  → C   ´etant une isochore- concernant un gaz parfait (qui v´erifie donc la premi`ere loi de  Joule )- quasi-statique (puisque repr´esentable dans le diagramme de  Clapeyron ),on peut appliquer Premier Identit´e Thermodynamique  ⋆  .On obtient : ∆ S  BC   =    C B d S   =    C B nC  Vm d T T   + nR      d V  V    =  nRγ  − 1 ln  T  C  T  B =  nRγ  − 1 ln   T  C  T  A α γ  − 1  4  http://atelierprepa.over-blog.com/  Qadri J.-Ph.  |  PTSI
We Need Your Support
Thank you for visiting our website and your interest in our free products and services. We are nonprofit website to share and download documents. To the running of this website, we need your help to support us.

Thanks to everyone for your continued support.

No, Thanks