Chapitre n o 8. Calculs de dérivées et primitives. 1 Dérivées. 1.1 Dérivées des fonctions de référence. 1.2 Opérations sur les dérivées

Description
Lycée Roland Garros - BCPST Mathématiques Chapitre n o 8. Calculs de dérivées et primitives Le but de ce chapitre n'est pas d'étudier en profondeur la théorie du calcul diérentiel, mais de maîtriser de

Please download to get full document.

View again

of 5
All materials on our website are shared by users. If you have any questions about copyright issues, please report us to resolve them. We are always happy to assist you.
Information
Category:

Sales

Publish on:

Views: 24 | Pages: 5

Extension: PDF | Download: 0

Share
Transcript
Lycée Roland Garros - BCPST Mathématiques Chapitre n o 8. Calculs de dérivées et primitives Le but de ce chapitre n'est pas d'étudier en profondeur la théorie du calcul diérentiel, mais de maîtriser de manière solide les règles de calcul basiques pour le calcul de dérivées et de primitives. Dérivées. Dérivées des fonctions de référence En général, les fonctions auxquelles on a aaire sont écrites à partir des fonctions de référence suivantes : Domaine Fonction Dérivée R x n (n N ) nx n ]0, + [ x a (a R ) ax a R e x e x ]0, + [ ln x x R cos x sin x R sin x cos x {x R : x π 2 [π]} tan x + tan2 x Remarque. Les deux premières lignes donnent en particulier (attention, notations à ne pas employer au propre) : (x 2 ) = 2x, ( ) = x x, ( x) = 2 2 x..2 Opérations sur les dérivées Théorème. Soient u et v dérivables sur I R et λ R. (u + v) = u + v, (λu) = λu, (uv) = u v + uv, ( ) u v = u v uv v 2 (si v ne s'annule pas sur I). Il reste une dernière opération : la composition Théorème 2. Soient u : I R et v : J R dérivables telles que u(i) J. Alors v u est dérivable sur I et (v u) = u v u. Exemple. Si g est une fonction de la forme g(x) = v(ax + b) avec a, b R alors g (x) = av (ax + b). Lorsque v est une des fonctions usuelles du tableau ci-dessus, on obtient les règles suivantes : Fonction u n (n N ) u a (a R ) e u Dérivée nu u n au u a u e u ln u u u cos u u sin u sin u u cos u tan u u ( + tan 2 u).3 Dérivées partielles des fonctions de 2 variables Soit D R 2 et f : D R une fonction. Graphiquement, f est représentée par une surface d'équation z = f(x, y) dans un espace à 3 dimensions. Dénition. Soit (a, b) D. Si la fonction f : x f(x, b) est dérivable en a, le nombre dérivé est noté (a, b) dérivée partielle de f par rapport à x au point (a, b) Si la fonction f 2 : y f(a, y) est dérivable en a, le nombre dérivé est (a, b) dérivée partielle de f par rapport à y au point (a, b) noté y 2 On retiendra que (x, y) est la dérivée de f considérée comme une fonction de x, avec y constante. Interprétation. Sur une carte plane, un point est repéré par sa longitude x et sa latitude y. Soit f(x, y) l'altitude au point (x, y) Alors (x, y) est la pente du terrain dans la direction de l'est, (x, y) est la pente du terrain dans la direction du NORD. Exemple. f(x, y) = 3x 2 y + e y2x. 3x 2 + 2yxe y2x. (x, y) = 6xy + y2 e y2x et (x, y) = y Exemple. Calcul des coecients thermoélastiques pour un gaz parfait. P V = nrt donc V est une fonction de P et de T : V (P, T ) = nrt P. 2 Primitives α = V χ T = V V T = V V P = V nr P = T, nrt P 2 = P. Contrairement à la dérivation, il n'existe pas de méthode automatique de calcul. Pour certaines fonctions on ne saura pas exprimer la primitive. 2. Primitives simples Rappel. F est une primitive de f sur un intervalle I si x I, F (x) = f(x). Il y a une innité de primitives de f (elles sont toutes égales à une constante additive près). On parle donc d'une primitive de f, pas de LA primitive de f. On note parfois f(x)dx une primitive de f, dénie à une constante près. Exemple. xdx = x2 2 + Cte Les primitives suivantes se retrouvent en lisant le tableau des dérivées à l'envers. 3 Domaine Fonction Primitive R x n (n N ) x n+ n + + Cte ]0, + [ x a (a R ) xa+ + Cte si a a + ln x + Cte si a = R e x e x + Cte R cos x sin x + Cte R sin x cos x + Cte Remarque. Une primitive de x sur R + est ln( x). Au total : x sur R est ln x. Par ailleurs une primitive de une primitive de x sur R est ln x. 2.2 Opérations sur les primitives Théorème 3. Soient F et G des primitives de f et g sur un intervalle I, et λ R. Alors F + G est une primitive de f + g, λf est une primitive de λf. Attention : il n'existe pas de formule pour une primitive de fg, ni pour f g. Par exemple, bien malin qui peut donner les primitives de x e x2, x sin x x, bien qu'elles s'écrivent chacune à partir de deux fonctions qui ont des primitives connues. 2.3 Le cas d'une fonction de la forme u v u Une stratégie courante pour trouver une primitive de f est de tenter de reconnaître quelque chose de la forme f = u v u, dont on sait qu'une primitive est V u (avec V une primitive de v). Cela donne les règles suivantes : 4 Fonction u u n (n N ) u u a (a R ) u e u u cos u u sin u Primitive un+ n + + Cte ua+ + Cte, si a a + ln u + Cte, si a = e u + Cte sin u + Cte cos u + Cte Proposition. Soit F une primitive de f. Alors une primitive de x f(ax+ b) est F (ax + b). a Exemple. Cherchons une primitive de f(x) = xe x2. On écrit Donc f(x)dx = 2 ex2 + Cte. Exemple. Calculer cos(t) sin 3 (t)dt. f(x) = 2 }{{} 2x }{{} e x2 u e u. 3 Primitives par parties Proposition 2. Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I. Alors u (x)v(x)dx = u(x)v(x) u(x)v (x)dx + Cte Preuve. il sut de rappeler que (uv) = u v + uv. Ces deux fonctions étant égales, leurs primitives sont aussi égales. Remarque. Il est fréquent qu'une primitive de uv soit plus facile à déterminer qu'une primitive de u v. Proposition 3. La primitive de ln x sur R + ln xdx = x ln x x + Cte. est donnée par Preuve. Primitive par parties avec u (x) = et v(x) = ln x. Exemple. Déterminer une primitive de x x cos x 5
Related Search
Similar documents
View more...
We Need Your Support
Thank you for visiting our website and your interest in our free products and services. We are nonprofit website to share and download documents. To the running of this website, we need your help to support us.

Thanks to everyone for your continued support.

No, Thanks