Chapitre 1-Statique Des Fluides Et Hydrostatique

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Hydrostatique

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  1 Chapitre 1  : STATIQUE DES FLUIDES-HYDROSTATIQUE 1. Pression et gradient de pression a. Isotropie de la pression La pression statique en un point d’un fluide au repos est la même dans toutes les directions. Elle est normale à la face sur laquelle elle s’exerce.   b. Loi fondamentale de la statique des fluides En appliquant le principe fondamental de la statique :  ∑⃗  =0  à une particule fluide, on obtient localement :  ⃗=0   c. Cas où la force dérive d’un potentiel   Si la force  f dérive d’un potentiel alors on a la relation suivante  =  et donc le principe fondamental de la statique devient :  =0  et si U = cte alors =0  donc p=cte 2. Hydrostatique (statique des fluides incompressibles dans le champ de pesanteur) Hypothèses  : la masse volumique, la force    ainsi que la température sont constantes. En écrivant l’équation fondamentale de la statique des fluides sur l’axe  vertical (0z) du trièdre 0xyz, on obtient : dp+   g dz = 0  Après intégration, on obtient l’équation fondamentale de l’hydrostatique  qui est la suivante : p+   g  z  = cte On note  ∗  = P+   g  z la pression motrice . Elle est constante dans un fluide au repos. Propositions :  2 -   Les surfaces isobares sont des plans horizontaux ;   -   La surface de séparation de deux liquides non miscibles et non réactifs chimiquement est un plan horizontal ;   -   La différence de pression entre deux points d’un liquide au repos dépend de l’altitude qui sépare ces deux points.   a. Interprétation de la loi fondamentale de l’hydrostatique   -    ∗ est l’énergie mécanique d’un volume unitaire de fluide au repos  ;   -   En divisant chaque membre de l’équation de l’hydrostatique par  g, on note : g  : la hauteur piézométrique ; Z : le niveau piézométrique. b. Pression absolue-pression relative Pression absolue  : pression mesurée à partir du vide ; Pression relative  : pression mesurée sous une référence ; Pression effective  : pression relative si la pression de référence est la pression atmosphérique. c. Diagramme de pression Considérons un liquide dans un récipient sous la pression atmosphérique. Comment évolue la pression au sein du liquide sous la pression atmosphérique . + = P atm   P e =  gh P abs = P atm +   gh  3 La pression effective est représentée par un diagramme triangulaire et la pression absolue par un diagramme trapézoïdal. d. Application   Un manomètre différentiel est composé de deux récipients cylindriques de sections droites  S  1  et  S  2   respectivement, reliés par un tube de section intérieure s  constante. L’ensemble contient deux liquides non miscibles de masses volumiques    et    . 1.   Initialement, la pression dans les deux réservoirs est la même et égale à P 0 . La surface de séparation est définie par h 1 et h 2 . Déduire une relation entre    ,     , h 1 et h 2 . 2.   On provoque au dessus du liquide 1 une surpression ∆  et la surface de séparation des deux liquides se sépare de ∆ . Déduire la sensibilité ∆∆  . Solution : liquide 1 liquide2 P 0  P 0  H 1 H 2  A B   1.   Relation entre    ,     , h 1 et h  2 . Liquide 1 : P  A    =   g H 1 Liquide 2 : P B   =   g H 2  Les points A et B sont sur la même surface de niveau donc P  A  =P B  , alors   g H 1 =    g H 2  donc    H 1 =    H 2  4 2)   La sensibilité ∆∆   ΔP B 1   ℎ ′   ℎ ′  H 1 H 2 L 2 L 1   Δ H   En considérant le liquide 1 : P  A   -    =   g L 1 donc P  A  =    +   g L 1  or P  A  = P 0  + Δ P +   g L 1  or   ℎ ′ =∆  donc ℎ ′ =   ∆    Alors P  A  = P 0  + Δ P +   g ( H 1  + Δ H-   ∆ 1 ) (1) En considérant le liquide 2 : P  A  - P 0  =   g L 2 donc P  A  =P 0  +   g L 2  avec L 2  = H 2  + ℎ ′  + Δ H D’où P  A = P 0  +    g (H 2  + ℎ ′  + Δ H) or   ℎ ′ =∆  donc ℎ ′ =   ∆    Alors P  A = P 0  +    g (H 2  + Δ H+ ∆     (2)  (1)   et (2) Δ P +   g ( H 1  + Δ H-   ∆ 1 ) =   g (H 2  + Δ H+ ∆    donc Δ P+   g H 1 +   g Δ H(1 -    =   g H 2 +    g Δ H (1 +   ) alors ∆∆  =     ( +  )−    −    
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