UNIDAD TEMÁTICA Nº 2: DINÁMICA DE LA PARTÍCULA D I N A M I C A

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En esta unidad el estudiante se familiarizará con los conceptos de inercia, masa, fuerza, sistema de referencia inercial; con las fuerzas mecánicas más comunes y con las leyes de Newton; todo lo cual lo aplicará en la resolución de problemas

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  * Prof.: REYES ÑIQUE J. MIGUEL* U.R.P. -Fac. de Ingeniería1 1 UNIDAD TEMÁTICA Nº 2: En esta unidad el estudiante se familiarizará con los conceptos deinercia, masa, fuerza, sistema de referencia inercial; con lasfuerzas mecánicas más comunes y con las leyes de Newton; todolo cual lo aplicará en la resolución de problemas dinámicos,cuando el(los) cuerpo(s) se mueva(n) bajo la acción de dichasfuerzas. DINÁMICA DE LA PARTÍCULA Prof. MIGUEL REYES D I N A M I C AEs la parte de la mecánica que estudia las causas que condicionanel movimiento de los cuerpos.Símbolo: m , MEs la propiedad que tienen los cuerpos de resistirse avariar su estado de reposo ó de movimiento.Es una magnitud física escalar positiva que se utilizacomo medida de la inercia de un cuerpo.Es una magnitud física vectorial que caracteriza laintensidad de interacción entre los cuerpos. F ,f   Símbolo:MASAFUERZAINERCIAVeamos algunos conceptos previos: 2Prof. MIGUEL REYES   Las fuerzas, debido a que tienen un punto de aplicación, tam-bién pueden clasificarse en :   Las fuerzas de interacción pueden clasificarse en:Fuerzas No-concurrentes:Fuerzas Concurrentes:Ejm: un libro apoyado sobre una mesa,una persona empujando una puerta para que se abra, etc.Ejm: el movimiento de la luna alrede-dor de la tierra, el de la tierra alrededordel sol, etc.Fuerzas de contacto.Fuerzas a la distancia.   Las fuerzas también se pueden clasificaren:Se encuentran en un mismo plano.Fuerzas coplanares.No se encuentran en un mismo plano.Fuerzas no-coplanares.F 1 F 2 F 3 3 F 1 F 2 F 3 FUERZAS MECÁNICAS MÁS COMUNES :Es la fuerza que experimenta un cuerpo porparte de la Tierra. Todo cuerpo al caer cercade la superficie terrestre, lo hace con unaaceleración constante (respecto a la Tierra).Ésta fuerza es vertical hacia la Tierra y estádefinida como:Fuerza de gravedad ( ó ) .- W  P  mT i e r r aCuerpo gm W    Aquí, m es la masa del cuerpo y esla aceleración de la gravedad ( g   9,8 m/s 2 ). g  Normal ( ) .-Es la fuerza que experimenta un cuerpopor parte de un apoyo. Ésta fuerza es perpendicular a la superficie de contacto. N  ApoyoCuerpo (2.1) . . . 4Prof. MIGUEL REYES mN g  W  * Prof.: REYES ÑIQUE J. MIGUEL* U.R.P. -Fac. de Ingeniería2 CuerdaFmCuerpoCuerda ideal : Polea ideal : Es la fuerza que experimenta un cuerpo porparte de una cuerda (cable, hilo) que lo jala. Ésta fuerza está dirigida a lo largo de la cuerda.Tensión ( ) .- T    Masa nula : m cuerda  = 0 Dispositivo en forma de disco. Masa nula : m polea  = 0 Longitud constante : l  cuerda  = const.   PoleaFT 5Prof. MIGUEL REYES Coeficientede fricciónestática Es la fuerza que experi-menta un cuerpo por parte de la superficie de apoyo cuando setrata de desplazarlo (o ya se desplaza) respecto a ella. F v = 0 mf  e Ésta fuerza surge cuandose intenta desplazar al cuerpo por la superficie de apoyo. N μ  f  emaxe,   maxe,e f  f  0   Ésta fuerzaes tangente (paralela) a la superficie de apoyo.Esta fuerza es de dos tipos:Fuerza de fricción ( o de rozamiento ) .-A Fuerza de fricción estática ( f  e  ): e f   (2.2) . . . (2.3) . . . 6Prof. MIGUEL REYES *) Las coeficientes   e  y   c  son constantes positivas y sus valoresdependen de los materiales de que están hechas las superficies encontacto (la del cuerpo y la de apoyo).*) Superficie lisa:   = 0 . Superficie áspera (rugosa):   0Ésta fuerza surge cuandoel cuerpo ya se está desplazando por la superficie de apoyo.B Fuerza de fricción cinética ( f  c  ):F v  0   m c f   Nota .  f  c Coeficientede friccióncinética N μ  f  cc   (2.4) . . . 7Prof. MIGUEL REYES Fuerza elástica ( ) .-Constante elástica (positiva) Lk F e   Deformacióndel resortekm e F  Es la fuerza que experimenta un cuerpo por parte de un resorte(u otro cuerpo elástico) deformado (estirado o comprimido) queestá unido a el.Ley de Hooke:   LResorte ideal: Masa nula m resorte  = 0F e CuerpoResorteFuerza elástica (2.5) . . . Ésta fuerza es de sentido contrario al sentido de ladeformación del resorte. 8Prof. MIGUEL REYES  * Prof.: REYES ÑIQUE J. MIGUEL* U.R.P. -Fac. de Ingeniería3 DCL del bloque.DIAGRAMA DEL CUERPO LIBRE ( DCL ) Haga el DCL del bloque, que seesta deslizando hacia la derechapor una mesa horizontal áspera.EJEMPLO:Es el dibujo del cuerpo con todas las fuerzas que actúan sobre él.SOLUCION:Tf  c NWCada fuerza se representa por una flecha, la cual va acompañadacon una letra que simboliza su módulo.Recordemos que cada una de estas fuerzas resulta de la interac-ción del cuerpo con cada uno de los otros cuerpos de su entorno. 9Prof. MIGUEL REYES bloque   AB Prof. MIGUEL REYES10 Sobre un plano inclinado liso se encuentraun bloque A (en reposo) y sobre éstedescansa un tablón B sujeto a una paredmediante una cuerda ideal. Los cuerpos A yB poseen su masa respectiva.EJEMPLO: AB Haga el DCLde cada cuerpo, por separado; y, el DCL deambos cuerpos juntos, como un todo.SOLUCION:DCLde cada bloque, por separado. DCL de los bloques,como un todo. A  f  e N A W A N B   B W B N B f  e TT AB N AB W AB   11Prof. MIGUEL REYES Sistema de referencia inercialSe denomina sistema de referencia inercial a aquel cuyaaceleración es nula.La superficie de la Tierra es considerada como inercial debido a que su aceleración es muy pequeña, en su movimiento de rotaciónalrededor de su eje. 12 1 ra Ley :Estas leyes son el resultado de la generalización de una grancantidad de hechos experimentales.Todo cuerpo continúa manteniéndose en su estado de reposo o demovimiento rectilíneo uniforme, en tanto en cuanto otros cuerposno actúen sobre el y le obliguen a cambiar dicho estado.< == > ( Ley de inercia de Galileo )LEYES DE NEWTON 0 F Ni1ii     Si , entonces 0 v    ( REPOSO ) 0 Const v    ( M.R.U. ) Prof. MIGUEL REYES  * Prof.: REYES ÑIQUE J. MIGUEL* U.R.P. -Fac. de Ingeniería4 am F       Ni1ii F F  2 da Ley :Unidades ( SI ) N1 sm kg 1 2   De aceleración : el metro/segundo 2 ( 1 m/s 2 )De masa : el kilogramo ( 1 kg )De fuerza : el Newton ( 1 N )m aFAquí: (2.6) . . . xx am F   yy am F ;   Introduciendo un sistema de ejes cartesianos se demuestra que laec. vectorial(2.6) es equivalente a tres ecuaciones escalares: (2.7) . . . 13 zz am F ;   La fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo es igual alproducto de la masa m del cuerpo por su aceleración . F  a  3 ra Ley :  F F  BAAB   La fuerza que el cuerpo A experimenta por parte del cuerpoB es del mismo valor pero opuesta a la fuerza que el cuerpo Bexperimenta por parte del cuerpoA. AB F  BA F  ( Acción Reacción )Línea de accióncuerpo Bcuerpo A F AB  F BA (2.8) . . . Hacemos notar que: la fuerza F AB  actúa sobre el cuerpo A y lafuerza F BA actúa sobre el cuerpo B. 14Prof. MIGUEL REYES La figura muestra dos bloques A y Bdeslizándose juntos hacia abajo porun plano inclinado liso ( sen   = 1/2 ),bajo la acción de una fuerza F,constante, horizontal y aplicada albloque A. Las masas de los bloquesson m A  = 44 kg y m B  = 56 kg.EJEMPLO: 15 B  A  Fa) Haga el DCL de cada bloque, por separado.b) Haga el DCL de los bloques juntos, como un todo.c) Si la aceleración de los bloques es de magnitud a = 1,5 m/s 2 ,pero de sentido contrario a su deslizamiento, calcule lasmagnitudes de F y de la fuerza F c  de contacto entre los bloques.A) Dinámica del movimiento rectilíneoAPLICACIONES de las leyes de Newton Prof. MIGUEL REYESProf. MIGUEL REYES16 SOLUCION:BA  FF c N B  N A W B  W A F c  F   BAW AB N AB a) DCL de cada bloque, porseparado.b) DCL de los bloques, comoun todo.c) Magnitudes de F y de F c  .1 o . Elegimos un sistema de referencia: plano inclinado.   ejes XY (ver figura).2 o . Aplicamos la 2 da ley de Newton a cada bloque, en su formaescalar:XY  * Prof.: REYES ÑIQUE J. MIGUEL* U.R.P. -Fac. de Ingeniería5 Prof. MIGUEL REYES17 m A  : A xAcA am F  θ sen gm  θ cosF  0 am  θ sen F  θ cosgm N yA AAA   0 am  θ cosgm N yBBBB    xBBBc am  θ sen gm F   m B  : (1) . . . . . (2) . . . (4) . . . . . . . . (3) . . . . . . . . . . . . De las ecs. (1) + (3), obtenemos:   )a(  θ sen g θ cos mm F BA  De la ec. (3), obtenemos: N 739,88    )1,5(  21 9,82 / 3 5644    )a(  θ sen gm F Bc    )1,5(  21 9,8 56  N 358,4     La figura muestra dos bloques de masasm 1  y m 2  unidos por una cuerda que pasapor una polea. La cuerda y polea sonideales y sin fricción entre ellas.a) Haga los DCL’s  de los bloques y polea por separado. m 1 m 2 Rpta. : b) c) gmm mm a 2121y1  gmm mm2  T 2121  b) Encuentre la aceleración de cadabloque.c) Halle la tensión de la cuerda. 18 EJEMPLO: Prof. MIGUEL REYES m 2 m 1 a) DCL’s  de los bloques y polea por separado1 o . Elegimos un sistema de referencia: techo   eje OY (hacia abajo)2 o . Aplicamos la 2 da ley de Newton a cadabloque, en su forma escalar: (1)..... am T gm y1111   (2)..... am T gm y2222   T 1  T 2 Rm 2 gT 2 SOLUCION:m 1  :m 2  :b) Aceleración de cada bloqueY0T 1 m 1 g3 o . Como la polea es ideal, o sea su masa m P  es nula, entonces lasfuerzas de tensión a ambos lados de ella son iguales: (3)..... T T 21  19Prof. MIGUEL REYES   m 2 m 1 Y04 o . Hasta el momento se tienen 4 incógnitas(T 1  , T 2  , a 1y  , a 2y  ) y sólo 3 ecuaciones.    cuerda l *) Ahora derivamos ésta relación respecto altiempo, teniendo presente que l  cuerda  = const .Obtenemos: )0v( 0 )0v( 0 y2y1   y2y1  v v   (4)..... a a y2y1   *) Derivamos ésta última relación, respecto al tiempo, obteniendonuestra 4 ta ecuación:y 1 y 2 y P Necesi-tamos de una 4 ta ecuación, la cual estable-ceremos de la siguiente manera:   )yy( P1     arco l )yy( P2   20 *) Expresamos la longitud de la cuerda entérminos de las coordenadas de posición delos bloques y la polea. De la figura: Prof. MIGUEL REYES
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