El Surgimiento de las Geometrías no Euclidianas y su Influencia en la Cosmología y en la Filosofía de la Matemática* The Emergence of non-Euclidean Geometries and Their Influence on Cosmology and Philosophy of Mathematics

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  El Surgimiento de las Geometrías no Euclidianas y su Influencia en la Cosmología y en la Filosofía de la Matemática* The Emergence of non-Euclidean Geometries and Their Influence on Cosmology and Philosophy of Mathematics Jorge Enrique Senior Martínez** RESUMEN En este artículo se describe el nacimiento en el siglo XIX de las geometrías no euclidianas y el impacto que al doblar el siglo esta revolución matemática tuvo en la reflexión metacientífica sistemática y, particularmente, en la filosofía de la matemática, generando, desde una concepción formalista, un nuevo territorio teórico denominado Metamatemática. Asimismo se muestra la influencia en la cosmología y la lógica-matemática. Protagonistas de esta historia: Eudoxo, Euclides, Saccheri, Kant, Lobachevsky, Bolyai, Gauss, Riemann, Beltrami, Klein, Poincaré, Frege, Peano, Hilbert, Russell, Whitehead, Minkowski, Einstein, Wittgenstein, Carnap, Gödel. Palabras clave: Geometría no Euclidiana, Lógica matemática, Historia, Cosmología. ABSTRACT In this paper it is described the emergence of non-Euclidean geometries in the XIX century and the impact this mathematical revolution had, turning the century, on systemic metascientific thoughts and, particularly, in philosophy of mathematics, generating a new theoretical ground called Metamathematics. Likewise, it is shown its influence in cosmology and mathematical logics. Main figures in this story: Eudoxo, Euclides, Saccheri, Kant, Lobachevsky, Bolyai, Gauss, Riemann, Beltrami, Klein, Poincaré, Frege, Peano, Hilbert, Russell, Whitehead, Minkowski, Einstein, Wittgenstein, Carnap, Gödel. Key words: Non-Euclidean geometry, Mathematical Logic, History, Cosmology. * Este artículo es una versión actualizada de un escrito del autor publicado en la Revista Colombiana de Filosofía de la Ciencia, Vol. II, Nos. 4 y 5, 2001, pp. 45-63. ** Filósofo. Director Seccional de Investigación de la Universidad Libre Seccional Barranquilla.  jsenior@unilibrebaq.edu.co Fecha de recepción: 2 de diciembre de 20 13 • Fecha de aceptación: 12 de diciembre de 2013   INGENIARE, Universidad Libre-Barranquilla, Año 8, No. 15, pp. 143- 155 • ISSN: 1909-2458  1. LOS PRECEDENTES En los tiempos de Kant había dos teorías que representaban el summun de la ciencia y que fueron para él referentes fundamentales: la mecánica de Newton y la Geometría de Euclides. La primera era todavía una novedad en pleno proceso de desarrollo, pero la geometría euclidiana tenía más de dos milenios (gracias a los árabes que la conservaron pues apenas fue traducida al latín en 1482) y se encontraba más allá de toda duda, representando la esencia misma de la racionalidad. Thomas Hobbes llegó a decir incluso que “La geometría de Euclides es la única ciencia que Dios le ha concedido al hombre”. Hasta la propia teoría de Newton estaba soportada en la antigua Geometría del genio griego. Esta solidez absoluta se refleja, por ejemplo, en las categorías a priori kantianas. En 13 volúmenes con el nombre de Elementos , Euclides reunió el saber geométrico de su época (finales del siglo IV a.C. e inicios del III a.C.), desarrollando la obra de los grandes matemáticos griegos, como por ejemplo el compañero de Aristóteles, Eudoxo de Cnido (hoy Turquía) e incluyendo sus propias aportaciones, exponiéndolas con un impecable método axiomático-deductivo, que fue su gran legado. Spinoza, por ejemplo, expuso su Ética al modo geométrico como criterio de rigurosidad. Posiblemente ese provinciano universal llamado Inmanuel Kant no conoció nunca a Gerolamo Saccheri, un jesuita italiano nacido en 1667 que inventó, sin saberlo, una geometría diferente a la de Euclides. Pocos años después de la muerte de Newton, en 1733, cuando Kant era apenas un niño de nueve años, Saccheri llegaba al final de su vida publicando en Milán un libro asombroso, que sin embargo no trascendería, y cuyo título era Euclides ab Omni Naevo Vindicatus , lo que traducido libremente significa: Euclides libre de todo defecto. Como indica el título, el objetivo de Saccheri era todo lo contrario de lo que logró, esto es, se proponía fortalecer la geometría euclidiana tratando de reducir al absurdo las posibilidades de desarrollos geométricos alternativos. Y efectivamente sus resultados fueron tan extraños que él los consideró absurdos, pero en el sentido coloquial del término. Hoy podemos decir, por el contrario, que desde el punto de vista lógico (y metamatemático), los teoremas desarrollados por Saccheri no son absurdos, por más que parezcan bastante raros y anti-intuitivos, pues en verdad son perfectamente consistentes, carentes de contradicción y, por ende, legítimos teoremas matemáticos válidos. El camino explorado por el cura italiano partía de negar el famoso quinto axioma o postulado euclidiano que reza: “Dada una línea L y un punto P exterior a dicha línea, existe una y solo una línea M que pasando por P sea paralela a L” o como acostumbrábamos a recitar en el colegio, “por un punto exterior a una recta solo puede trazarse una recta paralela”.  La forma como enunciamos aquí el postulado de las paralelas no es la que utilizó Euclides. En los Elementos aparece así: “Si una línea recta corta a dos líneas rectas de manera tal que los dos ángulos interiores que se formen en el mismo lado no sumen más de dos ángulos rectos, estas  líneas prolongadas continuamente se cortarán a la larga en el lado en el cual los ángulos son menores que dos ángulos rectos” [1].   Desde los tiempos antiguos se consideraba que los axiomas eran “verdades evidentes” y que por tanto “no necesitan demostración”. De esta s verdades generales se derivaban por deducción teoremas particulares. Los axiomas son así como los pilares del edificio matemático o al menos de cada teoría. Ahora bien, este quinto postulado, a diferencia de los demás, no parecía ser tan evidente, ni tampoco podía ser demostrado o derivado a partir de otros, lo cual resultaba ser fuente de inquietud o incomodidad en los matemáticos. El propio Euclides fue consciente de este punto débil. Y es que era muy fácil negar tal axioma, lo cual podía hacerse de dos formas: planteando que por el punto exterior a la línea o recta no podía pasar ninguna paralela o que podían pasar un número plural de paralelas. En cualquiera de los dos casos, se estaría negando el axioma # 5 y ello, supuestamente, conduciría a contradicciones en el sistema. Este programa de reductio ad absurdum pareció tener éxito inicialmente. Se demostró que asumir que no había paralelas por el punto externo P llevaba a una contradicción. Visto desde hoy, fue un resultado equívoco pues incluía como premisa oculta la presunción de que una línea recta tiene que ser infinitamente larga y nunca se tuvo en cuenta la posibilidad contraria, es decir, que hubiera un límite a la extensión de una línea recta. Saccheri exploró el otro camino. Él quería demostrar que asumir que podían pasar más de una paralela por P también implicaba inconsistencias en el sistema. Como ya dijimos, los teoremas que el italiano derivó eran extraños pero de ningún modo contradictorios. De hecho, eran teoremas de una geometría no euclidiana, pero era tal el prestigio milenario de Euclides y el arraigo profundo de su geometría en la mente de los matemáticos y de los no matemáticos, que tuvieron que pasar casi 100 años para que alguien diera el siguiente paso. 2. LA REVOLUCIÓN EUCLIDEOCLASTA La primera persona que desarrolló de manera consciente una geometría no euclidiana, entendiéndola precisamente como una nueva geometría, fue el matemático ruso Nicolai Ivanovic Lobachevsky (1792-1856) que en 1829 publicó en el Kazan Bulletin un artículo que desplegaba una nueva geometría siguiendo la misma dirección que había trabajado Saccheri un siglo antes, afirmando la pluralidad de paralelas por un punto exterior a una recta. Casi simultáneamente, en 1832, pero en forma independiente, el húngaro János Bolyai (1802-1860, su lugar de srcen hoy queda en Rumania) escribió un apéndice al libro de su padre, Wolfgang Farkas Bolyai, con el título de La ciencia absoluta del espacio . A esta geometría se la conoce hoy como hiperbólica o geometría de Bolyai-Lobachevsky en honor alos dos pioneros, pero en los años 30 del siglo XIX estos trabajos no tuvieron ninguna  repercusión. El   gran matemático de dicha centuria, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) dijo haber obtenido resultados similares en 1829, pero lo cierto es que no lo publicó en su momento. Bolyai no volvió a escribir sobre el tema, en cambio el ruso siguió insistiendo el resto de su vida, publicando desarrollos de su sistema en francés (1837) y alemán (1840), tratando inútilmente de superar la barrera idiomática. Antes de morir y sufriendo de ceguera, Lobachevsky publica en 1855 su Pangeometría en francés y ruso. Realmente, la geometría no euclidiana no fue ampliamente conocida sino después de los trabajos del alumno de Gauss, Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866). Como vimos antes, la otra aproximación, negando las paralelas, aparentemente había conducido a inconsistencias, por lo que no es sorprendente que la hazaña de Riemann procediera por un camino diferente a cuestionar el quinto postulado. Su trabajo de 1854, con el cual aspiraba al cargo de Privatdozen en Gotinga, titulado Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen (Sobre las hipótesis que yacen en los fundamentos de la geometría) se basaba en abstracciones desarrolladas a partir de un antiguo trabajo de Gauss sobre superficies curvas. Lamentablemente, esta conferencia no fue publicada hasta 1867, tras la edición de la correspondencia de Gauss y Schumacher donde se mencionaba a dos cuasides conocidos matemáticos llamados Lobachevsky y Bolyai. En la geometría riemanniana no existen paralelas pues todas las líneas rectas se intersectan y la extensión de cada recta es finita. Mientras en la geometría euclidiana solo hay una recta entre dos puntos, en la riemanniana puede haber más de una, incluso infinitas, así que también resulta posible que dos líneas rectas encierren un área (como veremos más adelante en un ejemplo). Hasta ahora hemos usado laxamente el concepto de línea recta, definida como la línea que recorre la distancia más corta entre dos puntos. Un lector acucioso podría argüir  – con razón  –  que no puede haber líneas rectas en superficies curvas. En efecto, es preciso generalizar el concepto de línea recta para poder extenderlo a superficies o espacios curvos como los estudiados en las geometrías no euclidianas. Este concepto generalizado se denomina Geodésica , la trayectoria más corta entre dos puntos en cualquiera de las geometrías. En el caso de la geometría plana o espacial de carácter euclidiano, la geodésica corresponde a la línea recta, en la riemanniana sería parte de una circunferencia o una elipse y en la de Bolyai-Lobachevsky, sería un segmento de hipérbola. La geometría de Riemann se puede denominar elíptica, la de Euclides, parabólica y la de Bolyai-Lobachevsky, hiperbólica. Finalmente entre los años 1868 y 1872, Beltrami y el alemán Félix Klein logran probar definitivamente la consistencia de las nuevas geometrías (si se parte de la hipótesis de que la geometría euclidiana es consistente), usando entre otros procedimientos, un método de sustituciones basado en correlaciones tipo ʻdiccionarioʼ, parecida a la estrategia que Gödel utilizara en su famoso teorema de incompletud en 1931 [2]. La vieja geometría euclidiana sigue vigente, pero reducida a ser solo un caso especial en el marco de una visión generalizada de la geometría. Se ha producido el descenso de Euclides del pedestal donde perduró durante más de 2.200 años. Esto conllevará al debilitamiento de la visión intuicionista de las matemáticas y a la  crisis de fundamentos , de la cual hablaremos más adelante. Ahora hagamos un examen comparativo de las distintas geometrías. 3. MUNDOS EXTRAÑOS La mejor manera de captar la lógica de los sistemas de geometrías curvas es a través de modelos cotidianos extraídos de nuestro entorno de apariencias tridimensionales euclidianas. Así el modelo ideal para la métrica riemanniana es la superficie de un balón o, si se quiere ser más abstracto, la superficie de una esfera. Claro que este modelo alude solo a un caso especial de esta geometría donde la superficie en consideración tiene una curvatura igual en todos los puntos. Para la geometría de Bolyai-Lobachevsky el modelo típico es la silla de montar a caballo. Si tratamos de aplanar la superficie de un balón o incluso de medio balón (o cualquier otra porción) tendremos que romperla o hacerle unos cortes radiales como hace el cirujano sobre la córnea del ojo con el bisturí-láser al operar la miopía (un reto similar tendría un modisto al diseñar unos calzones inelásticos para una mujer esteatopígica, es decir, de prominentes glúteos). En cambio si tratamos de aplanar una montura equina veremos que esta se arruga como si le ʻsobraraʼ área. Y viceversa, si  queremos coser un pedazo de tela plano en un balón veremos que sobra tela y en el caso de la silla del jinete queda faltando tela. A la curvatura (riemanniana) del balón o de la nalga se le llama ʻpositivaʼ pues sus valores serán siempre mayores que cero y a la de la montura (Bolyai- Lobachevsky) se le denomina ʻnegativaʼ puesto que sus valores serán menores que cero. Esta idea de curvatura no se debe confundir, como sucede a veces de forma intuitiva, con los conceptos de cóncavo y convexo; por ejemplo, para el caso del balón da lo mismo si se toma la parte de afuera (convexa) o la interna (cóncava). En cuanto a la curvatura de la geometría euclidiana su valor es cero. En esta última, como se sabe, los ángulos de un triángulo suman 180 grados. En contraste, en las superficies de curvatura positiva suman más de 180 y en las negativas, menos de 180. Más aún, si dibujamos un triángulo en el cuero del balón, no solo comprobaremos lo anterior, sino que veremos que si amplificamos el triángulo, aumenta la suma de los ángulos y si por el contrario lo minimizamos, la suma desciende, aproximándose a 180 grados como límite. Lo opuesto sucederá en la superficie de curvatura negativa, pero igual tenderá a 180 grados la sumatoria de ángulos al disminuirel tamaño del triángulo. Esto nos resulta muy familiar si lo referimos al planeta Tierra. Mientras consideremos un terreno lo suficientemente reducido la geometría euclidiana funciona muy bien, haciendo honor a su etimología, cuya raíz es la agrimensura. Pero si trabajamos sobre grandes territorios continentales, como sucede en cartografía, la curvatura del globo terráqueo se hace notable y sus efectos perceptibles, y entonces la versión euclidiana fallará, como bien lo entendió en el siglo XVI el flamenco Gerhardus Mercator (1512- 1594), quien fue el primero en enfrentar fecundamente este problema usando la proyección cilíndrica.
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